Introduction to Functional Analysis — Lecture Notes
A Hilbert space is a complete inner product space that generalizes Euclidean geometry to arbitrary, possibly infinite, dimensions. Every element can be expressed relative to an orthonormal system through its Fourier coefficients .
תהי מערכת אורתונורמלית במרחב הילברט . עבור כל וקטור מתקיים כי סכום ריבועי המקדמים אינו עולה על הנורמה בריבוע — תוצאה המוכרת בשם Bessel's inequality, ומשמשת בסיס להוכחת התכנסות טורי פורייה.
השוויון מתקבל אם ורק אם המערכת שלמה, כלומר אם complete orthonormal system — ואז מתקבל , המאפשרת לשחזר את במלואו מתוך מקדמי פורייה שלו ביחס ל־ .
If is a closed subspace, every decomposes uniquely as
where denotes orthogonal projection onto . This decomposition underlies the proof of the Riesz representation theorem.